DES QUANTA ANGULAIRES SPECIFIQUES D'OBJETS CONVEXES

Hao NGUYEN - Dernière MàJ: 20/09/2024

I- INTRODUCTION

Lors des découpages d'une pizza ou d'une galette (de rayon R) en parties égales,

en faisant apparaître un polygone régulier intérieur

et avec comme contrainte de ne pas couper par son centre,

l'application de la trigonométrie nous permet d'obtenir les cas ci-dessous:

- 4 parts égales avec un triangle équilatéral intérieur,

- 5 parts égales avec un carré intérieur,

- 6 parts égales avec un pentagone régulier intérieur,

- 7 parts égales avec un hexagone régulier intérieur,

etc ...

- N+1 parts égales avec un polygone régulier d'ordre N (N-gone) intérieur.

Une autre variante de découpages sans passer par le centre permet aussi d'obtenir:

- 4 parts égales avec un disque intérieur ayant comme rayon égal à R/2,

- 1 grande part et 3 parts égales plus petites avec un disque intérieur ayant comme rayon r

(r compris entre R/2 et R),

- 1 grande part et 3 parts égales plus petites mais avec un triangle équilatéral intérieur

inscrit dans le disque de la pizza.

Ainsi, ce dernier découpage permet aussi d'obtenir des N-gones (N >= 3) inscrits dans le cercle:

- 1 grande part et N parts égales mais de plus en plus petites si N tend vers l'infini.

Et la grande part n'est autre que la galette ou la pizza de départ.

Une question:

Que vaut le total des angles d'un N-gone régulier en fonction de N?

Aussi, que vaut le "Delta" angulaire lors du passage d'un N-gone à (N+1)-gone?

II- CALCUL du TOTAL DES ANGLES d'un N-gone (N > 2)

Le triangle (ou 3-gone) est le plus petit des N-gones. S'il est régulier,

c'est un triangle équilatéral ayant 3 côtés égaux et 3 angles égaux ayant 60° chacun.

D'où T3 = 60° * 3 = 180° = 200 grades = Pi = 3.1415926535... (radians).

Le carré (ou 4-gone régulier) est le suivant du 3-gone régulier.

Il a 4 côtés égaux et 4 angles égaux ayant 90° chacun.

D'où T4 = 90° * 4 = 360° = 400 grades = 2 Pi = 6.28318530718... (radians).

Et le Delta = T4 - T3 = 180° = 200 grades = Pi = 3.1415926535... (radians).

Le pentagone régulier (ou 5-gone régulier) est le suivant du 4-gone régulier.

Il a 5 côtés égaux et 5 angles égaux ayant 108° chacun (cf. Wikipedia).

D'où T5 = 108° * 5 = 540° = 600 grades = 3 Pi = 9,4247779607... (radians).

Et le Delta = T5 - T4 = 180° = 200 grades = Pi = 3.1415926535... (radians).

Et de proche en proche ou par récurrence, on peut trouver pour un (N+1)-gone régulier.

Il a N+1 côtés égaux et N+1 angles égaux ayant la valeur Beta= 180°-360°/(N+1) chacun.

D'où T(N+1) = Beta * (N+1) = (N+1) * 180° - 360° = (N-1)Pi (radians).

Et le Delta = T(N+1) - T(N) = (N-1)Pi - (N-2)Pi = Pi (radians).

Ainsi, la quantité angulaire spécifique ou le quantum angulaire 2D pour les dimensions 2 est noté:

"Delta 2D" = Pi radians

III- EXTENSION AUX OBJETS CONVEXES REGULIERS EN 3D

En trois dimensions, l'étude est nettement plus complexe pour les objets géométriques appelés solides

tels que les solides de Platon et de Johnson (cf. Wikipedia). Dans notre cas, on doit se limiter

aux prismes droits pour calculer le total des angles solides ci-après:

- Bases: Pentagones réguliers (n=5)

- Bases: Hexagones réguliers (n=6)

- Récapitulatif pour (n>=3)

Ainsi, la quantité angulaire spécifique pour les prismes droits

ou le quantum angulaire 3D (pour les dimensions 3) est noté:

"Delta 3D" = 2 Pi (stéradians)

IV- REMERCIEMENTS

Ce travail de recherche récréative pour un enseignant-chercheur à la retraite n'a pas pu aboutir,

sans les aides des amis et/ou d'anciens professeurs agrégés de Mathématiques spéciales:

- M. Gabriel CORON sur les calculs exacts des angles solides d'un tétraèdre régulier,

- M. Tuan NGUYEN pour son encouragement sur l'extension aux cas du disque/sphère circoncrits,

- M. Du TRAN sur l'emploi de l'IA en mathématiques 3D.